Các đường hỗ trợ song song của một tam giác Reuleaux

Tính chất cơ bản nhất của tam giác Reuleaux là có độ rộng không đổi, nghĩa là đối với mọi cặp đường hỗ trợ song song (hai đường có cùng hệ số góc và tiếp xúc với hình ở 1 điểm) đều có cùng một khoảng cách Euclid không phụ thuộc vào hệ số góc.[9] Trong bất kỳ cặp đường hỗ trợ song song nào, một đường thẳng nhất thiết đi qua một đỉnh tam giác, đường kia sẽ tiếp tuyến với cung tròn đối diện. Độ rộng của tam giác Reuleux bằng với bán kính cung tròn đường biên.[11]

Leonhard Euler có thể là nhà toán học đầu tiên phát hiện ra đường cong có độ rộng không đổi và nhận thấy tính chất này ở tam giác Reuleaux.[5] Trong bài viết trình bày năm 1771 và xuất bản năm 1781 với tựa đề De curvis triangularibus, Euler đã nghiên cứu các tam giác cong cũng như các đường cong có độ rộng không đổi, mà ông gọi là các dạng quỹ đạo.[12][13]

Cực trị

Trên nhiều phương diện khác nhau, tam giác Reuleaux là một trong những đường cong có độ rộng không đổi đạt cực trị.

Theo định lý Blaschke – Lebesgue, với độ rộng không đổi cho trước, tam giác Reuleaux là hình có diện tích nhỏ nhất, giá trị này bằng

1 2 ( π − 3 ) s 2 ≈ 0.70477 s 2 , {\displaystyle {\frac {1}{2}}(\pi -{\sqrt {3}})s^{2}\approx 0.70477s^{2},}

với s là độ rộng. Cách tính là tính tổng diện tích tam giác đều và các cung tròn. Ngược lại, trong các đường cong có độ rộng không đổi cho trước, hình tròn có diện tích lớn nhất, bằng π s 2 / 4 ≈ 0.78540 s 2 {\displaystyle \pi s^{2}/4\approx 0.78540s^{2}} .[14]

Các góc tạo bởi mỗi cặp cung ở đỉnh tam giác Reuleaux đều bằng 120°. Giá trị góc này là nhỏ nhất ở bất kỳ đỉnh nào của đường cong có độ rộng không đổi.[9] Ngoài ra, trong các đường cong có độ rộng không đổi, tam giác Reuleaux có cả tam giác đều nội tiếp lớn nhất và nhỏ nhất.[15] Tam giác đều nội tiếp lớn nhất có ba đỉnh trùng với đỉnh tam giác Reuleaux còn tam giác đều nội tiếp nhỏ nhất có ba đỉnh là điểm giữa của ba cạnh tam giác Reuleaux. Tập hợp con của tam giác Reuleaux gồm các điểm nằm trên ba đường kính trở lên là phần trong của tam giác lớn hơn trong hai tam giác này (hình 1); nó có diện tích lớn nhất trong tất cả tập hợp các điểm nằm trên ba đường kính của đường cong có độ rộng không đổi.[16]

Các hình đối xứng tâm trong và ngoài dùng để đo độ bất đối xứng của tam giác Reuleux

Mặc dù thuộc nhóm nhị diện D6 nhưng tam giác Reuleux giống như tam giác đều không có đối xứng tâm. Tam giác Reuleaux là đường cong có độ rộng không đổi có hệ số bất đối xứng tâm nhỏ nhất theo cả hai phương pháp, hệ số Kovner – Besicovitch (tỷ lệ diện tích của hình so với hình đối xứng tâm lớn nhất được bao bên trong) và hệ số Estermann (tỷ lệ diện tích trên hình đối xứng tâm nhỏ nhất bao ngoài). Đối với tam giác Reuleaux, hai hình đối xứng tâm dùng để tính hệ số bất đối xứng đều là hình lục giác chỉ có điều hình bên trong có cạnh cong.[17] Với mỗi đường kính (đường thẳng đi qua trọng tâm) chia tam giác Reuleaux thành hai phần có tỷ lệ diện tích đạt giá trị cực đại (một hệ số bất đối xứng khác) lớn hơn bất kỳ đường cong có độ rộng không đổi khác.[18]

Trong tất cả các hình có độ rộng không đổi và có biên không chạm lưới số nguyên, tam giác Reuleux có độ rộng lớn nhất. Trục đối xứng của nó nằm ở điểm 0,5 và song song với trục tọa độ. Độ rộng của nó là nghiệm của đa thức bậc 6 với hệ số nguyên và bằng khoảng 1,545.[17][19]

Giống như một hình tròn có thể được 6 hình tròn cùng cỡ tiếp xúc bao quanh, có thể sắp xếp 7 tam giác Reuleaux bằng nhau để cùng bao quanh tiếp xúc một tam giác Reuleaux tương tự ở giữa. Đây là số lượng tối đa có thể khi sắp xếp bất kỳ đường cong có độ rộng không đổi nào khác.[20][21]

Tứ giác hình diều có tỷ số giữa chu vi và đường kính đạt cực đại, nội tiếp trong tam giác Reuleaux

Trong tất cả các hình tứ giác, hình có tỷ số giữa chu vi và đường kính lớn nhất là tứ giác có hai đường chéo bằng nhau hình diều nội tiếp tam giác Reuleaux.[22][23]

Các hệ số khác

Theo định lý Barbier, tất cả các đường cong có cùng độ rộng không đổi bao gồm tam giác Reuleaux thì đều có chu vi bằng nhau. Đặc biệt giá trị này bằng chính bằng π s {\displaystyle \pi s} là chu vi của hình tròn có cùng độ rộng (chính bằng đường kính s).[24][25][9]

Với tam giác Reuleux có độ rộng s, bán kính đường tròn nội tiếp lớn nhất và đường tròn ngoại tiếp lần lượt là

( 1 − 1 3 ) s ≈ 0.42265 s và s 3 ≈ 0.57735 s {\displaystyle \displaystyle \left(1-{\frac {1}{\sqrt {3}}}\right)s\approx 0.42265s\quad {\text{và}}\quad \displaystyle {\frac {s}{\sqrt {3}}}\approx 0.57735s}

Tổng hai bán kính này bằng đúng độ rộng của tam giác Reuleaux. Tổng quát hóa, đối với mọi đường cong có độ rộng không đổi, đường tròn nội tiếp lớn nhất và đường tròn ngoại tiếp nhỏ nhất là đồng tâm và tổng bán kính của chúng bằng độ rộng không đổi của đường cong.[26]

Vấn đề mở trong Toán học: Các tam giác Reuleux có thể phủ kín mặt phẳng với mật độ bao nhiêu? (các vấn đề mở khác trong Toán học)

Mật độ phủ tối ưu của tam giác Reuleaux trong mặt phẳng vẫn chưa tính được nhưng giá trị phỏng đoán là

2 ( π − 3 ) 15 + 7 − 12 ≈ 0.922888 , {\displaystyle {\frac {2(\pi -{\sqrt {3}})}{{\sqrt {15}}+{\sqrt {7}}-{\sqrt {12}}}}\approx 0.922888,}

là mật độ của một mạng kép khả dĩ cho các hình này. Giới hạn trên tốt nhất cho độ phủ này là khoảng 0,947275.[27][28] Giả thuyết đưa ra nhưng chưa chứng minh được là tam giác Reuleaux có độ phủ cao nhất so với bất kỳ đường cong độ có rộng không đổi nào khác.[29]

Quay trong một hình vuông

Quay tam giác Reuleaux trong một hình vuông, quỹ tích tâm tam giác là đường cong bên trong

Bất kỳ đường cong có độ rộng không đổi nào đều có thể tạo thành một rotor trong một hình vuông, nghĩa là quay bên trong và luôn tiếp xúc bốn cạnh hình vuông. Tuy nhiên, tam giác Reuleaux là rotor có diện tích nhỏ nhất.[9] Khi quay, tâm không cố định tại một điểm mà vẽ theo bốn đoạn elip.[30] Do góc đỉnh 120°, tam giác Reuleaux không thể quét hết các góc hình vuông mà tạo nên biên cũng là các cung elip.[9]

Tại bất kỳ thời điểm nào trong quá trình quay này, hai đỉnh tam giác Reuleaux tiếp xúc với hai cạnh liền kề của hình vuông, trong khi đỉnh thứ ba của tam giác vạch ra một đường cong gần đỉnh đối diện của hình vuông. Hình do tam giác Reuleaux quét qua chiếm khoảng 98,77% diện tích hình vuông.[31]

Ví dụ phản chứng

Ý định ban đầu của Reuleaux khi nghiên cứu tam giác Reuleaux là một ví dụ phản chứng, muốn chứng minh ba điểm tiếp xúc riêng biệt có thể không đủ để cố định một hình phẳng vào một vị trí duy nhất.[4] Sự tồn tại của đa giác Reuleaux cho thấy chỉ đo đường kính thì không thể chứng thực một mặt cắt ngang có tròn hay không.[32] Thực tế này có thể chỉ ra nguyên nhân thảm họa tàu con thoi Challenger vì khi phóng tên lửa, độ tròn chỉ được kiểm tra bằng cách đo các đường kính khác nhau. Trong khi với cùng độ rộng không đổi nhưng hình dạng không tròn có thể tạo ra ứng suất cao bất thường, đây có thể là một trong những các yếu tố dẫn đến thảm họa.[9]

Liên quan đến bài toán hình vuông nội tiếp, Eggleston (1958)Lỗi harv: không có mục tiêu: CITEREFEggleston1958 (trợ giúp) nhận thấy tam giác Reuleaux là một ví dụ về hình có độ rộng không đổi không có đa giác đều nội tiếp với số cạnh nhiều hơn bốn ngoại trừ hình lục giác đều. Ông mô tả một chỉnh sửa nhỏ với các hình đảm bảo độ rộng không đổi đồng thời cũng không tồn tại lục giác đều nội tiếp. Ông khái quát hóa trong không gian ba chiều sử dụng một hình trụ dựng từ tiết diện đó.[33]